2009年陕西师大附中第二次高考模拟数学试题
一.选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）
1.(理)复数 的值是
A. B. C. D.
（文） 的值是
A. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B. C. D.
2.已知集合 ， ，则集合 =
A.{ } w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B.{ } C.{ } D.{ }
3.若 ,下列命题中正确的是
A.若 , 则 B.若 , 则
C.若 , 则 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D.若 , 则
4.已知函数 的反函数是 ，则 是
A.奇函数且在 上单调递减 B.偶函数且在 上单调递增
C.奇函数且在 上单调递减 D.偶函数且在 上单调递增
5.已知实数 、 满足约束条件 ,则 的最大值
A.24 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B.20 C.16 D.12
6.设向量 ，向量 ，则 与 的夹角是
A. B. C. D.
7.若半径是 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是
A. B. C. D.
8.若函数 ( )的部分图象如图所示，则有
A. B.
C. D.
9.定义在 上的偶函数 对于任意的 都有 ，且 ，则 的值为
A. B. C. D.
10.过双曲线 的右焦点作直线交 于 两点，若 ，则这样的直线有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
11.在圆 内，过点 有 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项 ，最长的弦长为 ，其中公差 ，那么 的集合是
A. B. C. D.
12. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高．有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的 的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数(见下表)：
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a |
b |
c |
d |
e |
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g |
h |
i |
j |
k |
l |
m |
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1 |
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14 |
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18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
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现给出一个变换公式：
将明文转换成密文，如 ，即 变成 ； ，即 变成 ．按上述规定，若将明文译成的密文是 ，则原来的明文是
A. B. C. D.
二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.在 的展开式中， 的系数是15，则实数 ___________.
14.（理）已知 ，则 ___________.
（文）函数 的单调递减区间是___________.
15.编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有___________种.
16.公比为 的等比数列 中，若 是数列 的前 项积，则有 也成等比数列，且公比为 ；类比上述结论，相应地在公差为 的等差数列 中，若 是 的前 项和，则有一相应的等差数列,该等差数列的公差为__________ ；
三.解答题（本大题共6小题，共76分）
17.（本小题满分12分）
已知 （ 为常数）.
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 在 上的最大值与最小值之和为3，求 的值.
18.（本小题满分12分）
在举办的奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是 ，甲、丙两人都回答错的概率是 ，乙、丙两人都回答对的概率是 .
（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率.
（2）（理）求回答对这道题目的人数的随机变量 的分布列和期望.
（文）求甲、乙、丙三人中至少有两人回答对这道题目的概率.
19.（本小题满分12分）
在三棱柱 中， ， ，
， 是 的中点，F是 上一点，且 .
(1) 求证： ；
(2) 求平面 与平面 所成角的正弦值.
20．（本小题满分12分）
（理）在 平面上有一系列的点 ，对于正整数 ，点 位于函数 的图象上，以点 为圆心的⊙ 与 轴都相切，且⊙ 与⊙ 又彼此外切，若 ，且
（1） 求证：数列 是等差数列；
(2) 设⊙ 的面积为 ， ，求证：
（文） 在等差数列 中， ，前 项和 满足条件 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 且 ，求数列 的前 项和 。
21. （本小题满分12分）
（理）已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左、右焦点分别是 的左、右顶点，而 的左、右顶点分别是 的左、右焦点。
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 与双曲线 恒有两个不同的交点 和 ，且 ，其中 为原点，求 的范围。
(文)椭圆 的离心率 ， 是椭圆上关于 轴均不对称的两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点
（1）设 的中点为 ，求 的值；
（2）若 是椭圆的右焦点，且 ，求椭圆的方程。
22．(本题满分14分)
（理）已知 ，函数 。设 ，记曲线 在点 处的切线为
(1) 求 的方程；
(2) 设 与 轴交点为 ，求证：① ； ② 若 ，则
（文）设函数 ，已知 是奇函数。
（1）求 、 的值
（2）求 的单调区间与极值。
2009年陕西师大附中第二次高考模拟试题
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页。满分150分。考试时间120分钟。
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题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
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（17） |
（18） |
（19） |
（20） |
（21） |
（22） |
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得分 |
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第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一.选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.(理)复数 的值是B
A. B. C. D.
（文） 的值是A
A. B. C. D.
2.已知集合 ， ，则集合 =C
A.{ } B.{ } C.{ } D.{ }
3.若 ,下列命题中正确的是B
A.若 , 则 B.若 , 则
C.若 , 则 D.若 , 则
4.已知函数 的反函数是 ，则 是D
A.奇函数且在 上单调递减 B.偶函数且在 上单调递增
C.奇函数且在 上单调递减 D.偶函数且在 上单调递增
5.已知实数 、 满足约束条件 ,则 的最大值为 B
A.24 B.20 C.16 D.12
6.设向量 ，向量 ，则 与 的夹角是C
A. B. C. D.
7.若半径是 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是B
A. B. C. D.
8.若函数 ( )的部分图象如图所示，则有 C
A. B.
C. D.
9.定义在 上的偶函数 对于任意的 都有 ，且 ，则 的值为A
A. B. C. D.
10.过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 两点，若 ，则这样的直线 有 C
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
11.在圆 内，过点 有 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项 ，最长的弦长为 ，其中公差 ，那么 的集合是 D
A. B. C. D.
12. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高．有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的 的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数(见下表)：
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a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
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j |
k |
l |
m |
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1 |
2 |
3 |
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5 |
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7 |
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11 |
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w |
x |
y |
z |
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15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
现给出一个变换公式：
将明文转换成密文，如 ，即 变成 ； ，即 变成 ．按上述规定，若将明文译成的密文是 ，则原来的明文是B
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共60分）
二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.在 的展开式中， 的系数是15，则实数 ___________.
14.（理）已知 ，则 ___________.1
（文）函数 的单调递减区间是___________.
15.编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有___________种.20
16.公比为 的等比数列 中，若 是数列 的前 项积，则有 也成等比数列，且公比为 ；类比上述结论，相应地在公差为 的等差数列 中，若 是 的前 项和，则有一相应的等差数列,该等差数列的公差为__________ ；300；
三.解答题（本大题共6小题，共76分）
17.（本小题满分12分）
已知 （ 为常数）.
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 在 上的最大值与最小值之和为3，求 的值.
解：（1）
，即 ，
∴ 的单调递增区间是 ………………… 6分
（2） ，
则 ， ∴ . ………………… 12分
18.（本小题满分12分）
在举办的奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是 ，甲、丙两人都回答错的概率是 ，乙、丙两人都回答对的概率是 .
（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率.
（2）（理）求回答对这道题目的人数的随机变量 的分布列和期望.
（文）求甲、乙、丙三人中至少有两人回答对这道题目的概率.
解：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是 ，根据题意，得
解得 ， ；………………… 6分
（2）（理） 可能取值0，1，2，3，
； ；
； .
分布列如下：
期望为 .………………… 12分
（文） ………………………… 12分
19.（本小题满分12分）
在三棱柱 中， ， ，
， 是 的中点，F是 上一点，且 .
(1) 求证： ；
(2) 求平面 与平面 所成角的正弦值.
解：（1）因为 , 是 的中点，所以 .
又 ，所以
又 ，所以
在 中 ，在 中
所以 ，
即 ，所以 。……… 6分
（2）延长 交于 ，则 为所求二面角的棱.由 ≌ 得： 。
过 作 ，且 与 交于 ，又 ， ，
为所求二面角的平面角.
由 和 相似得： 。又 ，所以 。
即所求二面角的正弦值是 . ……………………………… 12分
20．（本小题满分12分）
（理）在 平面上有一系列的点 ，对于正整数 ，点 位于函数 的图象上，以点 为圆心的⊙ 与 轴都相切，且⊙ 与⊙ 又彼此外切，若 ，且 。
(1) 求证：数列 是等差数列；
(2) 设⊙ 的面积为 ， ，求证：
解(1) 证明：依题知得： ，整理，得
又 所以 即 ，
故数列 是等差数列。……………………………………………… 6分
(2) 由(1)得 即 ( )，又 ，
所以
=
= ，
故 …………………………………………………………… 12分
（文） 在等差数列 中， ，前 项和 满足条件 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 且 ，求数列 的前 项和 。
解（1）设等差数列 的公差为 ,由 得： ，所以 ，即 ，所以 .…………………… 6分
（2）由 ，得 。所以 ，
当 时， ，
，即 … …12分
21. （本小题满分12分）
（理）已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左、右焦点分别是 的左、右顶点，而 的左、右顶点分别是 的左、右焦点。
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 与双曲线 恒有两个不同的交点 和 ，且 ，其中 为原点，求 的范围。
解：(1) 椭圆 的焦点 、 ，左右顶点 、 。设双曲线 的方程为 ，则 ， ， 故 的方程为 。…… 6分
(2) 联立方程组 消 得：
由直线 与双曲线 交于不同的两点得：
即 于是 ，且 ………………①
设 、 ，则
又 ，所以 ，解得 ……………②
由①和②得 即 或
故 的取值范围为 。……………… ……………………12分
(文)椭圆 的离心率 ， 是椭圆上关于 轴均不对称的两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点
（1）设 的中点为 ，求 的值；
（2）若 是椭圆的右焦点，且 ，求椭圆的方程。
解（1）设 ， ，代入椭圆方程 得 ， ，两式相减整理得： ，由于 ， ；由 得 ，则 ，即 ，
所以 …………………………………………… 6分
（2）
由于 ，那么 ，那么 ，所以 ， ，
故椭圆方程是 …………………………………………… 12分
22．(本题满分14分)
（理）已知 ，函数 。设 ，记曲线 在点 处的切线为
(1) 求 的方程；
(2) 设 与 轴交点为 ，求证：① ； ② 若 ，则
解： (1) 依题知，得： ， 的方程为 ，
即直线 的方程是 ………………… 6分
(2) 证明：由(1)得
①由于 ，所以 ，
又 ,所以
②因为 ，且 ，所以 ，即 。
又 ，所以
故当 时，有 ………………… 14分
（文）设函数 ，已知 是奇函数。
（1）求 、 的值。
（2）求 的单调区间与极值。
证明（1）∵ ，∴ 。从而 ＝ 是一个奇函数，所以 得 ，即 是奇函数，那么 ；………………… 6分
（2）由（Ⅰ）知 ，由 得 ，由此可知，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
和 是 是单调递增区间； 是 是单调递减区间；
在 时，取得极大值，极大值为 ， 在 时，取得极小值，极小值为 。…………………… 14分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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